Kalkulator pochodnych online

Pochodna wielomianu krok po kroku

★ Przyda Ci się później? Dodaj stronę do ulubionych: Ctrl+D (na Macu ⌘+D).

Twoje ostatnie obliczenia

Wpisz wielomian, a kalkulator pochodnych zróżniczkuje go składnik po składniku — z wzorem przy każdym kroku — i policzy drugą pochodną oraz styczną w wybranym punkcie. Jak korepetytor, tylko szybszy.

Wzór na pochodną potęgi — serce rachunku różniczkowego

Dla jednomianu działa reguła: (c·xⁿ)′ = c·n·xⁿ⁻¹ — wykładnik „schodzi” przed x, a potęga maleje o 1. Pochodna sumy to suma pochodnych, a stała znika. Dzięki temu każdy wielomian różniczkuje się mechanicznie: (3x³ − 5x² + 2x − 7)′ = 9x² − 10x + 2. Kalkulator pochodnych rozpisuje to składnik po składniku, dorzuca drugą pochodną i wartość w punkcie.

Co właściwie mówi pochodna?

f′(x₀) to nachylenie stycznej do wykresu w punkcie x₀ — czyli chwilowe tempo zmian. Dodatnia pochodna: funkcja rośnie; ujemna: maleje; zero: kandydat na maksimum lub minimum (rozstrzyga znak drugiej pochodnej: f″ < 0 → maksimum, f″ > 0 → minimum). Po podaniu x₀ kalkulator wyznacza też równanie stycznej y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀) — częsty finał zadań maturalnych.

Tabela pochodnych funkcji elementarnych

f(x)	f′(x)	Uwagi
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	działa też dla n ujemnych i ułamkowych
√x = x^(1/2)	1 / (2√x)	z reguły potęgi
sin x	cos x	x w radianach
cos x	−sin x
eˣ	eˣ	jedyna taka funkcja
ln x	1/x	x > 0
1/x = x⁻¹	−1/x²	z reguły potęgi

Ten kalkulator specjalizuje się w wielomianach (to one dominują w szkole); funkcje złożone wymagają dodatkowo reguły łańcuchowej (f(g(x)))′ = f′(g(x))·g′(x) — opisanej w przykładach poniżej.

Trzy klasyczne pułapki

Po pierwsze, pochodna iloczynu to nie iloczyn pochodnych: (f·g)′ = f′g + fg′. Po drugie, zapis 1/x² różniczkuj jako x⁻²: wynik −2x⁻³. Po trzecie, w trygonometrii wzory zakładają radiany — dla stopni dochodzi czynnik π/180. Wielomiany są od tych pułapek wolne, dlatego to najlepszy poligon do nauki techniki.

Pochodne szkolne — gotowe wyniki (tabela)

Funkcja f(x)	Pochodna f'(x)	Uwagi
c (stała)	0	Pochodna stałej to zero
x	1	Najprostszy przypadek
x²	2x	Reguła (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹
x³	3x²	j.w.
xⁿ	n·xⁿ⁻¹	Reguła potęgowa
1/x = x⁻¹	−1/x² = −x⁻²	Pochodna hiperboli
√x = x^(1/2)	1/(2√x)	Pochodna pierwiastka
sin(x)	cos(x)	„Trójka podstawowa"
cos(x)	−sin(x)	Uwaga na minus!
tan(x)	1/cos²(x)	= sec²(x)
eˣ	eˣ	Funkcja „samopochodna"
aˣ	aˣ·ln(a)	Ogólna wykładnicza
ln(x)	1/x	Pochodna logarytmu naturalnego
log_a(x)	1/(x·ln(a))	Logarytm o dowolnej podstawie

Podstawowe reguły różniczkowania

1. Reguła sumy

(f + g)' = f' + g'

Przykład: (3x² + 2x − 5)' = 6x + 2 − 0 = 6x + 2.

2. Reguła iloczynu (product rule)

(f · g)' = f' · g + f · g'

Przykład: (x² · sin(x))' = 2x · sin(x) + x² · cos(x).

3. Reguła ilorazu (quotient rule)

(f/g)' = (f' · g − f · g') / g²

Przykład: (sin(x)/x)' = (cos(x) · x − sin(x)) / x².

4. Reguła łańcuchowa (chain rule)

(f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)

Przykład: (sin(x²))' = cos(x²) · 2x = 2x·cos(x²).

Przykład: (e^(3x))' = e^(3x) · 3 = 3·e^(3x).

Pochodna w konkretnym punkcie i styczna

Pochodna f'(x₀) w punkcie x₀ to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu w tym punkcie. Równanie stycznej:

y − f(x₀) = f'(x₀) · (x − x₀)

Przykład: f(x) = x², x₀ = 3. Wtedy f(3) = 9, f'(x) = 2x, f'(3) = 6. Styczna: y − 9 = 6(x − 3), czyli y = 6x − 9.

Druga pochodna — do czego służy

Druga pochodna f''(x) mówi o krzywiźnie funkcji:

f'' > 0 → funkcja wypukła w dół (jak x²) — minimum lokalne przy f' = 0
f'' < 0 → funkcja wypukła w górę (jak −x²) — maksimum lokalne przy f' = 0
f'' = 0 → punkt przegięcia (funkcja zmienia charakter krzywizny)

Zastosowania pochodnej w życiu i nauce

Fizyka — prędkość = pochodna drogi po czasie, przyspieszenie = pochodna prędkości
Ekonomia — koszt krańcowy = pochodna kosztu całkowitego po liczbie produktów
Optymalizacja — znalezienie maksimum/minimum funkcji (np. maksymalny zysk, minimalny koszt)
Machine learning — algorytm gradient descent liczy pochodne funkcji błędu
Statystyka — funkcja gęstości = pochodna dystrybuanty

Częste błędy przy różniczkowaniu

Zapomnienie o regule łańcuchowej. (sin(2x))' = 2·cos(2x), nie cos(2x)!
Minus przed sin przy pochodnej cos. (cos(x))' = −sin(x), łatwo pominąć.
Traktowanie stałej jak zmiennej. W f(x) = 5x, „5" jest stałą — nie różniczkujemy „5" osobno.
Błędne stosowanie reguły iloczynu do sumy. (x² + sin(x))' = 2x + cos(x), nie 2x · cos(x).

Pochodne — FAQ

Jaka jest pochodna funkcji 3x³ − 5x² + 2x − 7?

f′(x) = 9x² − 10x + 2. Każdy składnik różniczkujemy wzorem (c·xⁿ)′ = c·n·xⁿ⁻¹, a stała −7 znika. Kalkulator pokaże wszystkie kroki.

Co oznacza, że pochodna w punkcie wynosi 0?

Styczna jest pozioma — to kandydat na ekstremum. Sprawdź drugą pochodną: ujemna oznacza maksimum, dodatnia minimum, zero wymaga dalszej analizy.

Jak policzyć pochodną z ułamkiem typu 1/x?

Zapisz jako potęgę: 1/x = x⁻¹, więc (x⁻¹)′ = −x⁻² = −1/x². Zamianę ułamków na potęgi ujemne ćwiczy kalkulator potęgi.

Czym różni się f′ od f″?

f′ opisuje tempo zmian funkcji, f″ — tempo zmian tego tempa, czyli wypukłość wykresu. Oba wielomiany kalkulator wypisuje automatycznie.

Jak wyznaczyć równanie stycznej do wykresu?

Styczna w x₀ ma wzór y = f′(x₀)·(x − x₀) + f(x₀). Wpisz funkcję i x₀ w pole obok — kalkulator poda gotowe równanie w postaci y = ax + b.

Do czego pochodne przydają się poza matematyką?

Wszędzie tam, gdzie pytamy o tempo zmian: w fizyce prędkość to pochodna położenia, a przyspieszenie — prędkości; w ekonomii koszt krańcowy to pochodna kosztu całkowitego; w uczeniu maszynowym gradient (wektor pochodnych) wskazuje, jak poprawiać model. Nawet optymalizacja ceny czy kształtu opakowania to szukanie zera pochodnej. Dlatego umiejętność szybkiego różniczkowania wielomianów — którą ćwiczysz tutaj — procentuje daleko poza klasówką.